KOMBINASI

 KOMBINASI

Suatu KOMBINASI dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya. Misalnya dari 3 orang A,B dan C akan dibuat satu kelompok belajar yang terdiri dari 3 orang maka banyak cara membentuk kelompok tersebut merupakan masalah kombinasi, karena cara membentuknya tidak memperhatikan urutannya. Keanggotaan kelompok ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA dianggap sama, sehingga hanya ada 1 cara pembentukan kelompok tersebut dengan anggota A,B dan C.

Kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda

 Misalnyadari n unsur yang berbeda akan disusun r unsur tanpa memperhatikan urutannya. Banya cara untuk menyusun k unsur tersebut merupakan masalah kombinasi r dari n unsur ditulis _nC_r yaitu

Contoh:

1. Berapa banyak cara memilih 4 anggota dari 9 anggota suatu himpunan jika:

a. tanpa syarat apapun.

b. Salah satu orang harus terpilih.

Jawab:

a.      Dari 9 orang akan dipilih 4 orang.

Banyak cara pemilihan 4 orang dari 9 orang adalah:

  

      Dari 9 orang akan dipilih 4 orang, tetapi seorang harus selalu terpilih, hanya akan dipilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banya cara memilih adalah:

   

Kombinasi r unsur dari n unsur dengan bebarapa unsure sama

Misalkan 4 bola akan diambil dari dalam kotak yang berisi 4 bola merah, 3 bola putih dan dan 2 bola hijau. Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi r unsure dari n unsure dengan beberapa unsure sama. Untuk menyelesaikannya perlu beberapa tahap, yaitu:

1.Menentukan banyak cara memilih 2 bola merah dari 4 bola merah yaitu ₄C₂,

2.Menentukan banyak cara memilih 1 bola putih dari 3 bola putih yaitu ₃C₁,

3.Menentukan banyak cara memilih 1 bola hijau dari 2 bola hijau yaitu ₂C₁

 Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah ₄C₂ . ₃C₁ . ₂C₁ cara

Misalkan terdapat n unsure yang terdiri dari q₁,q₂,q₃, . . . q_e. Unsur q₁ ada sebanyak n₁ unsur, unsur q₂ sebanyak n₂…. Unsur q_e sebanyak n_e sehingga n₁+n₂+n₃+….+n_e =n. Dari n unsur unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k₁ unsur q₁,k₂unsur q₂,k₃ unsur q₃….k_e unsur q_e dengan k₁+k₂+k₃+…k_e = k. Banyak cara pengambilan adalah

N1Ck1.n2Ck2.n3Ck3 . . .neCke

 

Contoh

Seorang petani membeli 4 ekor sapi, 3 ekor kuda, dan 2 ekor kambing dari seseorang yang memiliki 6 ekor sapi, 7 ekor kuda dan 10 ekor kambing. Dengan berapa cara petani itu dapat memilh hewan-hewan itu?

Jawab:

Petani dapat memilih 4 ekor sapi dari 6 ekor sapi dengan

Memilih 3 ekor kuda dari 7 ekor kuda dengan

 

Dan memilih 2 ekor kambing dari 10 ekor kambing dengan

 

Sehingga total cara pemilihan tersebut adalah 15 . 35 . 45 = 23.625 cara

Soal-soal

1.  Hitunglah nilai nilai berikut ini:

     a. ₆C₃

     b. ₈C₃

     c.₁₀C₄

     d.₉C₈

2. Diketahui 5 warna yang berlainan, tiap 3 warna yang berlainan itu menghasilkan suatu warna baru. Berapa banyak warna yang dapat dihasilkan?

3. Seorang siswa harus memilih 12 pertanyaan dari 15 pertanyaan pada suatu ulangan. Dengan berapa cara ia dapat memilih 12 pertanyaan itu?

4.  Seorang siswa diharuskan mengerjakan 7 soal dari 10 soal. Tetapi no 1 sampai denga nomor 5 harus dikerjakan. Berapa banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut?

5. Dari seperangkat kartu bridge (remi) diambil 4 buah kartu. Berapa cara pengambilan kartu tersebut jika terdiri dari:

     a. 2 kartu Jack dan 2 kartu King,

     b. 2 kartu Queen, 1 kartu Jack dan 1 kartu King.